Terminale Maths Page 666 · n°1

Grand Oral - Mathématiques

Pavages semi-réguliers

Énoncé Énoncé

Question :
Comment carreler ma salle de bain grâce aux Mathématiques ?

Solution Révéler quand vous êtes prêt

Intro

Bonjour, Je m'appelle ..., j'ai choisi le spécialité Mathématiques au baccalauréat, et, dans le cadre de cette dernière, nous allons, aujourd'hui, répondre à la question "Comment carreler ma salle de bain grâce aux Mathématiques ?".
En effet, étant en pleine rénovation de ma salle de bain, je me suis demandé quelles formes de carreau je pouvais utiliser pour refaire le sol.
Ce problème est analogue à celui des pavages, soit comment recouvrir (sans trous et sans superposition) un plan infini (ou ici le sol de ma salle de bain).
Avant même d'être un sujet d'étude mathématique, les pavages font partie de notre vie, que ce soit dans l'art (mosaiques, pavages islamiques) ou dans le quotidien (ruches, métro parisien).
Dans le cadre de cet oral, nous allons nous limiter à l'étude des pavages semis-réguliers, c'est-à-dire composés uniquement de polygones convexes réguliers.

Dans un premier temps, nous allons définir plus rigoureusement la notion de pavage semi-régulier
Ensuite, nous allons chercher quelles formes sont pavables seules
Puis nous allons élargir notre recherche aux pavages contenant au plus trois types de polygones

I - Définitions et relations générales

Pavage semi-régulier : Recouvrement du plan par des polygones réguliers satisfaisant trois conditions :

Si deux polygones ont un point unique en commun, ce point est un sommet des deux. On l'appelera par la suite un *noeud* du pavage.
Si deux polygones ont plus d'un point en commun, leur intersection est un côté des deux. On l'appelera par la suite une *arête* du pavage.
On trouve les mêmes polygones dans le meme ordre autour de chaque noeud.

L'ordre d'un noeud est le nombre de polygones autour dudit noeud. Dans le cadre de pavage semi-régulier, l'ordre peut être élargi au pavage entier.

Un $\textcolor{#caa7ff}{n}$-gone est un polygone à $\textcolor{#caa7ff}{n}$ côtés.

Quelques relations

Pour un polygone régulier à $\textcolor{#caa7ff}{n}$ côtés, chaque angle de ce polygone mesure :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\alpha = \bigl(1 - \dfrac{2}{n}\bigr) \pi \text{ rad}
}$$

Pour tout noeud du pavage semi-régulier entouré de $\textcolor{#caa7ff}{k}$ polygones à $\textcolor{#caa7ff}{n_1, n_2, ..., n_k}$ côtés et de mesures d'angles $\textcolor{#caa7ff}{\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_k}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum^{k}_{i=1} \alpha_i = 2 \pi \text{ rad}
}$$

D'où :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\pi \sum^{k}_{i=1} \bigl(1 - \dfrac{2}{n_i}\bigr) = 2 \pi
\newline \Leftrightarrow
k + \sum^{k}_{i=1} \bigl(-\dfrac{2}{n_i}\bigr) = 2
\newline \Leftrightarrow
\sum^{k}_{i=1} \dfrac{2}{n_i} = k - 2
\newline \Leftrightarrow
\boxed{
\sum^{k}_{i=1} \dfrac{1}{n_i} = \dfrac{k - 2}{2}
} \quad (1)
}$$

II - Pavages réguliers

Les pavages réguliers sont des pavages semi-réguliers constitués d'un seul type de polygone. Par exemple, une ruche est un pavage régulier d'ordre 3 (car à chaque noeud, on trouve 3 héxagones).

Dans ce cas, pour chaque noeud, les $\textcolor{#caa7ff}{n_i}$ sont égaux. Ainsi, pour un pavage régulier d'ordre $\textcolor{#caa7ff}{k}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum^{k}_{i=1} \dfrac{1}{n_i} = \dfrac{k - 2}{2}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{k}{n} = \dfrac{k - 2}{2}
\newline \Leftrightarrow
2k = n(k - 2)
\newline \Leftrightarrow
2k = nk - 2n
\newline \Leftrightarrow
2k - nk = -2n
\newline \Leftrightarrow
k(2 - n) = -2n
\newline \Leftrightarrow
\boxed{
k = \dfrac{2n}{n - 2}
}
}$$

Dans cette relation, $\textcolor{#caa7ff}{n}$ représente le nombre de côtés de chaque polygone du pavage et $\textcolor{#caa7ff}{k}$ le nombre de polygones autour de chaque noeud du pavage.

Ainsi, cherchons $\textcolor{#caa7ff}{n \in \mathbb{N}^*}$ tel que $\textcolor{#caa7ff}{k \in \mathbb{N}^*}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n - 2 \mid 2n
}$$

Or $\textcolor{#caa7ff}{n - 2 \mid n - 2}$ donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
n - 2 \mid 2n - 2(n - 2)
\newline \Leftrightarrow
n - 2 \mid 2n - 2n + 4
\newline \Leftrightarrow
n - 2 \mid 4
\newline \Leftrightarrow
n - 2 \in \bigl\{1; 2; 4\bigr\}
\newline \Leftrightarrow
\boxed{
n \in \bigl\{3; 4; 6\bigr\}
}
}$$

Ainsi, les seuls pavages réguliers sont des pavages de triangles, de carrés et d'héxagones.

III - Pavages semi-réguliers

a. Définition

Contrairement a un pavage régulier, un pavage semi-régulier peut admettre plusieurs types de polygones différents (du moment qu'il respecte les conditions définies précédement).

L'ordre minimum d'un pavage semi-régulier est $\textcolor{#caa7ff}{3}$ et le maximum est $\textcolor{#caa7ff}{6}$.

Nous allons alors nous interesser aux pavages d'ordre $\textcolor{#caa7ff}{3}$ spécifiquement. On peut définir un pavage d'ordre $\textcolor{#caa7ff}{3}$ par un $\textcolor{#caa7ff}{3}$-uplet $\textcolor{#caa7ff}{(n_1;n_2;n_3)}$ désignant le nombre de côtés des polygones autour de chaque noeud (notons que l'ordre ne change rien dans le cadre d'un pavage d'ordre 3). Notons ce $\textcolor{#caa7ff}{3}$-uplet $\textcolor{#caa7ff}{(x;y;z)}$ et appelons le "type" du pavage.

D'après la relation $\textcolor{#caa7ff}{(1)}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{3 - 2}{2} = \dfrac{1}{2}
\quad (2)
}$$

b. Propriétés

Si un des polygones a un nombre de côtés impair, les deux autre polygones ont le meme nombre de côtés. Cela se démontre facilement graphiquement comme suit en prennant $\textcolor{#caa7ff}{z}$ impair :

Test

En effet, en parcourant les sommets du polygone à $\textcolor{#caa7ff}{z}$ côtés, et pour garder un polygone de chaque a tous les sommets, un des polygones doit à la fois avoir $\textcolor{#caa7ff}{x}$ côtés et $\textcolor{#caa7ff}{y}$ côtés, ce qui est possible si et seulement si $\textcolor{#caa7ff}{x = y}$.

Ainsi, en posant $\textcolor{#caa7ff}{z}$ impair, d'apres la relation $\textcolor{#caa7ff}{(2)}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{2z}{xz} + \dfrac{x}{xz} = \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{2z + x}{xz} = \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
2(2z + x) = xz
\newline \Leftrightarrow
4z + 2x = xz
\newline \Leftrightarrow
4z = xz - 2x
\newline \Leftrightarrow
4z = x(z - 2)
}$$

Ainsi $\textcolor{#caa7ff}{z - 2 \mid 4z}$ or $\textcolor{#caa7ff}{z - 2}$ est impair donc $\textcolor{#caa7ff}{z - 2 \mid z}$. De plus, $\textcolor{#caa7ff}{z - 2 \mid z - 2}$ donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
z - 2 \mid z - (z - 2)
\newline \Leftrightarrow
z - 2 \mid 2
\newline \Leftrightarrow
z-2 \in \bigl\{1;2\bigr\}
\newline \Leftrightarrow
z \in \bigl\{3;4\bigr\}
\newline
\text{Or } z \text{ est impair donc :}
\quad \boxed{z = 3}
}$$

On en conclut donc que si $\textcolor{#caa7ff}{z}$ est impair $\textcolor{#caa7ff}{z = 3}$.

En clair, si, autour d'un noeud d'un un pavage semi-régulier d'ordre 3, un polygone a un nombre de côtés impairs, ce pôlygone est un triangle et les deux autres polygônes autour de ce noeud ont le même nombre de côtés.

c. Etude du cas z = 3

Ainsi, étudions le cas où $\textcolor{#caa7ff}{z = 3}$ :

D'après la relation $\textcolor{#caa7ff}{(2)}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2}
\newline
\text{Or z = 3 et x = z donc :}
\quad
\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{6 + x}{3x} = \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
2(6 + x) = 3x
\newline \Leftrightarrow
12 + 2x = 3x
\newline \Leftrightarrow
\boxed{
x = 12
}
}$$

Ainsi le seul pavage semi-régulier d'ordre 3 admettant un polygone à un nombre impair de côtés est de type $\textcolor{#caa7ff}{(3;12;12)}$.

d. Si x, y et z sont pairs

On pose $\textcolor{#caa7ff}{x \le y \le z}$ ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{1}{z}
\newline
\text{or } \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} \text{ donc :}
\newline
\dfrac{3}{x} \ge \dfrac{1}{2}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{x}{3} \le 2
\newline \Leftrightarrow
x \le 6
}$$

Si $\textcolor{#caa7ff}{x = 4}$

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{1}{z}
\newline
\text{or } \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} \text{ donc :}
\newline
\dfrac{2}{y} \ge \dfrac{1}{4}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{y}{2} \le 4
\newline \Leftrightarrow
y \le 8
}$$

Ainsi, pour $\textcolor{#caa7ff}{y = 4}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{0} \quad \boxed{\text{IMPOSSIBLE}}
}$$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{y = 6}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow z = 12
}$$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{y = 8}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow z = 8
}$$

Si $\textcolor{#caa7ff}{x = 6}$

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{1}{z}
\newline
\text{or } \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} \text{ donc :}
\newline
\dfrac{2}{y} \ge \dfrac{1}{3}
\newline \Leftrightarrow
\dfrac{y}{2} \le 3
\newline \Leftrightarrow
y \le 6
}$$

Ainsi, pour $\textcolor{#caa7ff}{y = 4}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow z = 12
}$$

Pour $\textcolor{#caa7ff}{y = 6}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow z = 6
}$$

Conclusion

Ainsi, les seuls pavages pour ma salle de bain sont de types :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(3;3;3;3;3;3)
\newline
(4;4;4;4)
\newline
(6;6;6)
\newline
(3;12;12)
\newline
(4;6;12)
\newline
(4;8;8)
}$$